Hallar las razones directas e inversas de los segmentos a y b, sabiendo:

1.- a = 18 m, b = 24 m.

2.- a = 6 dm, b = 8 dm.

3.- a = 25 cm, b = 5 cm.

4.- a = 3 dm, b = 9 dm.

5.- a = 2.5 dm, b = 50 cm.

6.- a = 3 Km, b = 6 Hm.

7.- a = 5 Hm, b = 3 Dm.

8.- a = 4 Dm, b = 8 m.

9.- a = 6 mm, b = 3 cm.

10.- a = 9 cm, b = 6 dm.

Respuestas: 1.- a/b = 0.75; b/a = 4/3, 2.- a/b = 0.75; b/a = 1 1/3, 3.- a/b = 5; b/a = 0.2, 4.- a/b = 1/3; b/a = 3, 5.- a/b = 0.5; b/a = 2, 6.- a/b = 5; b/a = 1/5, 7.- a/b = 16 2/3; b/a = 3/50, 8.- a/b = 5; b/a = 1/5, 9.- a/b = 1/5; b/a = 5, 10.- a/b = 3/20; b/a = 6 2/3.

Calcular los lados de un triángulo sabiendo su perímetro (P) y que los lados son proporcionales a los números dados.

1.- P = 18 y los lados proporcionales a 4, 6, 8.

2.- P = 36 y los lados proporcionales a 3, 4, 5.

3.- P = 84 y los lados proporcionales a 5, 7, 9.

4.- P = 75 y los lados proporcionales a 3, 5, 7.

5.- P = 90 y los lados proporcionales a 1, 3, 5.

Calcular los segmentos determinados por la bisectriz sobre el lado mayor de los triángulos cuyos lados a, b y c miden:

6.- a = 24, b = 32, c = 40

7.- a = 20, b = 16, c = 12

8.- a = 8, b = 10, c = 6

9.- a = 15, b = 10, c = 20

10.- a = 7 b = 3 c = 5

En cada uno de los triángulos siguientes de lados a b y c, calcular los determinados por la bisectriz sobre el lado menor:

11.- a = 6 b = 10 c = 14

12.- a = 8 b = 12 c = 16

13.- a = 10 b = 16 c = 18

14.- a = 6 b = 12 c = 10

15.- a = 8 b = 16 c = 18

Los lados de un triángulo miden a = 24, b = 10, c = 18. Calcular los segmentos determinados por cada bisectriz sobre el lado opuesto.

Dividir gráficamente en partes proporcionales a 2, 3 y 5:

a) Un segmento de 10 cm.
b) Un segmento de 5 pulgadas.
c) Un segmento de 7.5 cm.

Hallar gráficamente la cuarta proporcional a segmentos que miden:

a) 2, 3 y 4 cm.
b) 4, 6 y 7 cm.
c) 1, 2 y 3 pulgadas.

Hallar gráficamente la tercera proporcional a segmentos que miden:

a) 3 y 4 cm.
b) 4 y 6 cm.
c) 2 y 3 pulgadas.

Respuestas:
1.- 4, 6, 8, 2.- 9, 1, 15, 3.- 20, 28, 36, 4.- 15, 25, 35, 5.- 10, 30, 50, 6.- 17 1/7 y 22 6/7, 7.- 8 4/7 y 11 3/7, 8.- 4 2/7 y 5 5/7, 9.- 8 y 12, 10.- 2 5/8 y 4 3/8, 11.- 2 ½, 3 ½, 12.- 3 3/7, 4 4/7, 13.- 5 5/17, 4 12/17, 14.- 2 8/11, 3 3/11, 4 4/17, 3 13/17.

1.- Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un octágono.

2.- Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un decágono.

3.- ¿Cuál es el polígono en el que se puede trazar tres diagonales?

4.- ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice?

5.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar nueve diagonales, desde un vértice?

6.- Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un octágono.

7.- Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un decágono.

8.- Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 20 lados.

9.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales?

10.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 20 diagonales en total?

Respuestas: 1.- 5, 2.- 7, 3.- hexágono, 4.- eneágono, 5.- dodecágono, 6.- 20, 7.- 35, 8.- 170, 9.- eptágono, 10.- octágono.

1.- Hallar el área de un rectángulo sabiendo que su base mide 15.38 m y su altura 3.5 m.
R: 53.83 m².

2.- Un rectángulo tiene 96 m² de área y 44 m de perímetro. Hallar sus dimensiones.
R: b = 16 m, h = 6 m.

3.- La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área es 288 m². hallar sus dimensiones.
R: b = 24 m, h = 12 m.

4.- El área de un rectángulo es de 216 m² y su base es 6 metros mayor que su altura. Hallar sus dimensiones.
R: b = 18 m, h = 12 m.

5.- La diagonal de un rectángulo mide 10 m y su altura 6 m. hallar su área.
R: 48 m².

6.- Hallar el área de un rectángulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la apotema de un pentágono inscrito en una circunferencia de radio r.
R: r²/4?10+2?5.

7.- Hallar el área de un cuadrado cuyo lado vale 8.62 cm.
R: 74.30 cm².

8.- Hallar el lado de un cuadrado cuya área vale 28.09 m².
R: 5.3 m.

9.- Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal vale 4?2 m.
r: 16 m².

10.- Si se aumentan 2 m al lado de un cuadrado, su área aumenta en 36 m². Hallar el lado.
R: 8 m.

1.- Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 90°.

2.- Determinar el polígono regular cuyo ángulo interior vale 135°.

3.- Hallar la suma de los ángulos exteriores de un eptágono.

4.- Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular.

5.- Hallar el valor de un ángulo exterior de un decágono regular.

6.- Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados.

7.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120°?

8.- Determinar cual es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 60°.

9.- Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 90°.

10.- Calcular el numero de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono.

Respuestas: 1.- cuadrado, 2.- octágono, 3.- 360°, 4.- 45°, 5.- 36°, 6.- 18°, 7.- triángulo, 8.- hexágono, 9.- cuadrado, 10.- 2.

Polígonos

Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos. Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares. Según la medida de sus lados, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.

Son polígonos regulares los que tienen todos sus lados y ángulos congruentes, es decir, tienen la misma medida.

Conceptos básicos de la geometría plana

Los polígonos irregulares tienen, a lo menos, un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes.

Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º.

Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.

Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a 180º.

Se clasifican, según sus ángulos en:

Equiláteros. Si tienen tres lados iguales
Isósceles. Si tienen dos lados iguales.
Escálenos. Si tienen tres lados desiguales.

Según la magnitud relativa de sus lados en:

- Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.
- Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.
- Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.

Medianas, bisectrices y mediatrices

Medianas

Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el baricentro, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto.

Mediatrices

Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Bisectrices

Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita.

Círculos inscritos y circunscritos

Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que ocupan los primeros con respecto a la circunferencia. Es así como tenemos las siguientes situaciones.

Polígono inscrito a la circunferencia. En este caso los vértices del polígono son puntos de la circunferencia y ésta queda circunscrita al polígono. Los lados del
polígono son cuerdas de la circunferencia.

Polígono circunscrito a la circunferencia. Todos los lados del polígono son tangentes de la circunferencia. La circunferencia queda inscrita al polígono.